KI widerlegt eine jahrzehntealte mathematische Idee, die „größte Vermutung“, bei der die Technologie bisher eine Rolle gespielt hat

Während mehr als 60 Millionen Menschen in den Vereinigten Staaten am 19. Juli das Finale der FIFA-Weltmeisterschaft verfolgten, arbeitete ein Modell der künstlichen Intelligenz hart daran, ein jahrzehntealtes mathematisches Problem zu lösen – oder technisch gesehen zu widerlegen.

Der Mathematiker Levent Alpöge vom KI-Unternehmen Anthropic und der Harvard University nutzte Claude Fable 5 von Anthropic, um sich einer mathematischen Vermutung zu nähern: einer Idee, die Mathematiker für wahr halten, die aber noch nicht bewiesen oder widerlegt wurde. Anschließend veröffentlichte er in den sozialen Medien eine KI-gestützte Widerlegung. Es wurde seitdem von mehreren unabhängigen Mathematikern bestätigt.

„Hallo, die jakobinische Vermutung ist falsch“, schrieb Alpöge auf X. Er dankte Akhil Mathew, einem Mathematiker an der University of Chicago, für die Anregung des Problems und seiner „anderen Fabel eines engen Freundes“ für die Arbeit während des Spiels.

„Das ist eine ziemlich große Sache“, sagt Abhishek Saha, Mathematiker an der Queen Mary University of London Neuer WissenschaftlerDas ist Matthew Sparkes. „Dies ist wahrscheinlich die größte Vermutung, dass KI bisher in der Mathematik eine bedeutende Rolle (beim Beweisen oder Widerlegen) gespielt hat.“

Im Jahr 1884 schlug der tschechische Mathematiker Ludwig Kraus eine Version der Jacobi-Vermutung vor, die 1939 vom deutschen Mathematiker Ott-Heinrich Keller in ihre heutige Form erweitert wurde.

Die Vermutung betrifft Polynomfunktionen, die sich wie mathematische Maschinen verhalten, die einen Satz von Zahlen aufnehmen und einen neuen Satz ausgeben, schreibt Melissa Lee, Mathematikerin an der Monash University in Australien, für die Gespräch. Geben Sie eine Reihe von Zahlen ein, die Punkte im Raum darstellen – wie Koordinaten auf einer Karte – und eine Funktion verschiebt diese Zahlen gemäß den Regeln der Funktion an neue Punkte.

„Sie können testen, wie ‚schön‘ eine Funktion alles im Raum bewegt, indem Sie etwas berechnen, das als Jacobi-Determinante bezeichnet wird. Wenn die Jacobi-Determinante immer eine konstante Zahl ist, die nicht Null ist, dann faltet oder zerdrückt die Funktion den Raum um einen bestimmten Punkt nie“, schreibt Lee.

Der Vermutung zufolge sollte es, wenn die Determinante eine Konstante ungleich Null ist, immer eine andere Funktion geben, mit der Sie alle Punkte in ihre ursprüngliche Position zurückversetzen können. Theoretisch sollte es einfach sein, dies zu widerlegen, indem man eine Gegenbeispielfunktion findet, die alle Punkte verschmelzen lässt und eine Konstante ungleich Null als Jacobi-Determinante hat – im wirklichen Leben hat sich dies jedoch als weitaus schwieriger herausgestellt. Der Mathematiker Stephen Smale, ein Gewinner der Fields-Medaille, die oft als Nobelpreis für Mathematik bezeichnet wird, hat sie 1998 sogar in eine Liste der 18 wichtigsten mathematischen Probleme des 21. Jahrhunderts aufgenommen.

Der X-Beitrag von Alpöge enthält eine solche Funktion. Mit Fable fand er eine dreidimensionale Funktion, die eine konstante Jacobi-Determinante hat und mehrere Eingabepunkte zusammenführt, was sie irreversibel macht. Dies zeigt, dass die Vermutung für Räume mit drei oder mehr Dimensionen falsch ist, obwohl sie für Räume mit niedrigeren Dimensionen dennoch zutreffen könnte.

Viele externe Forscher bezeichnen das Ergebnis als Meilenstein für die KI-gestützte Mathematik. Dennoch ist die Suche nach einem einzigen Gegenbeispiel bei weitem nicht so eine große Sache wie der Beweis der Jacobi-Vermutung, der noch nicht durchgeführt wurde, erklärt der Mathematiker Andrew Blumberg von der Columbia University Zerstampbarist Timothy Beck Werth. Es zeigt vor allem, dass es „viele Polynome“ gibt, die für Menschen allein schwer zu überprüfen sind.

KI könnte helfen, Vermutungen zu beweisen, aber zum jetzigen Zeitpunkt sind die Modelle nicht in der Lage, verlässliche Schritt-für-Schritt-Anleitungen für deren Lösung zu liefern, heißt es VermögenDas ist Eva Roytburg. Menschen können mehr als 100 Seiten füllen und nur einen einzigen Beweis dokumentieren.

Blumberg beschreibt die Rolle der KI mit einer Analogie: „Angenommen, Moses käme mit Tafeln vom Berg herunter und auf der Tafel stand geschrieben: ‚Krebs kann geheilt werden‘.“ Würde es dich interessieren? Sie wollen nicht nur die Antwort auf die Frage. Aus der Antwort möchte man etwas lernen“, erzählt er Zerstampbar. „Der Grund, warum Smale dieses Problem für wichtig hielt, liegt darin, dass er dachte, wenn wir es lösen würden, würden wir mehr über die Struktur der Natur verstehen.“

Dennoch wird allgemein davon ausgegangen, dass der Fortschritt die Erwartungen übersteigt, wann KI in der fortgeschrittenen mathematischen Forschung nützlich sein wird. Im Jahr 2025 konnten Spitzenmodelle fünf von sechs Problemen der Internationalen Mathematikolympiade lösen. Und im Mai gab OpenAI bekannt, dass ein Modell des Unternehmens Forschern dabei geholfen hat, ein 80 Jahre altes Problem des ungarischen Mathematikers Paul Erdős zu lösen. Im Anschluss an die Ankündigung sagte OpenAI-Forscher Sébastien Bubeck: Wall Street JournalBen Cohen meint, dass die Aussicht auf diesen Durchbruch noch „vor einem Monat“ lächerlich vorgekommen wäre.

Obwohl das Jacobi-Gegenbeispiel spannend ist, vollzieht sich der Wandel hin zur KI in der reinen Mathematik „sehr schnell und sehr beunruhigend … insbesondere für junge Mathematiker“, sagt Mathew, den Alpöge in seinem X-Beitrag erwähnte Vermögen.

Es kommt auf das „Wie“ an, ohne das „Warum“ zu erklären, fügt er hinzu. „Man kann nachprüfen, ob es richtig ist, aber es wäre schön, eine Geschichte erzählen zu können.“